16 Febbraio 2002
Un invariante per il riconoscimento delle comete periodiche
(Antonio Leone)

Premessa

Le comete periodiche, dopo il primo passaggio, si ripresentano, nei passaggi successivi, con i parametri orbitali mutati in maniera più o meno marcata. Le cause sono principalmente due:
  1. La diminuizione della massa del nucleo cometario, generata dalla perdita di materiali che la cometa lascia lungo la sua orbita.
  2. Le perturbazioni che i pianeti (in particolare Giove) esercitano sulla cometa.
Il riconoscimento di una cometa periodica, nei passaggi successivi al primo, è un problema molto complicato in quanto bisogna, di volta in volta, partendo dai parametri precedenti, calcolare gli effetti dovuti alle perturbazioni, per giungere ai valori dei parametri successivi. Francois Felix Tisserand, nel XIX secolo, si è posto il problema di ricercare un'espressione matematica invariante, che accompagnasse la cometa periodica durante tutti i suoi passaggi e ne sancisse la sua identità.

La cometa di Halley
L'invariante di Tisserand

Il Tisserand osserva che le maggiori perturbazioni sulle comete provengono da Giove, pertanto il moto della cometa si può considerare come un caso particolare del problema dei tre corpi, e cioè: Sole, Giove e cometa. Per giungere alla soluzione di questo problema, che nella sua forma generale non ammette soluzioni, pone delle semplificazioni:
  1. massa della cometa trascurabile,
  2. eccentricità orbitale di Giove nulla.
Sotto queste ipotesi semplificative, il problema dei tre corpi ammette una soluzione, denominata integrale di Jacobi, e operando su questa soluzione, con una serie di calcoli, il Tisserand giunge all'espressione dell'invariante:



dove a rappresenta il semiasse maggiore dell'orbita della cometa, e l'eccentricità, i l'inclinazione dell'orbita sul piano dell'eclittica.

Applicazione dell'invariante di Tisserand ai due ultimi passaggi della cometa di Halley, avvenuti rispettivamente nel 1910 e 1986

Disponendo dei parametri orbitali dei due ultimi passaggi della cometa di Halley (perieli avvenuti il 20,1777 Aprile 1910 e il 9,45175 Febbraio 1986), abbiamo
  • passaggio del 1910, invariante = -1,9914
  • passaggio del 1986, invariante = -1,9911
valori coincidenti fino alla terza cifra decimale. Se poi consideriamo il prossimo passaggio al perielio, previsto per il 29,1330 Luglio 2061, con i seguenti valori dei parametri:

a = 17,73 UA ; e = 0,966566 ; i = 161o,9598


otteniamo il seguente valore dell'invariante, - 1,9968, molto vicino ai due valori precedentemente calcolati.


Referenze:

Tisserand F.F.: "Mecanique Celeste", ed. Gauthier Villars, Parigi, 1889

Jacobi C.G.: "Comptes Rendus de l'Academie des Sciences de Paris", Vol. 3, p. 59

Tempesti P.: "La cometa di Halley", "Coelum", Bologna, Gennaio-Febbraio 1985





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