N.16 - 30 Settembre 2002
Calcolo della traiettoria geocentrica del bolide meteoritico che il 10 Agosto 1972 sfiorò il Nord-America
(Giuseppe Matarazzo)

Introduzione

Tra i fenomeni celesti più spettacolari, le meteore, un tempo chiamate "stelle filanti", mantengono inalterato il loro fascino e stimolano la curiosità di un pubblico sempre più vasto. Esse sono costituite prevalentemente da detriti cometari che, in determinati periodi dell'anno, intercettano l'orbita terrestre e diventano incandescenti a contatto con l'atmosfera.

Si formano così delle scie luminose che gli osservatori da terra vedono provenire da un unico punto della volta celeste, detto radiante. Ogni sciame meteorico ne ha uno proprio, e le sue coordinate possono essere determinate, insieme a tutti gli altri parametri della traiettoria, analizzando due fotografie di una stessa meteora appartenente allo sciame, scattate da due posti differenti, come mostrato nelle foto qui a lato.

Traiettoria di una Perseide
Le apparecchiature fotografiche sono talora dotate di un otturatore rotante, che permette di conoscere con precisione il tempo di apparizione della meteora. Nella maggior parte dei casi, però, ci si affida a testimonianze visive, che sono certamente più grossolane di quelle fotografiche, ma che consentono comunque di calcolare con buona approssimazione sia la traiettoria geocentrica della meteora che quella eliocentrica (che esula da questa trattazione) del suo sciame di appartenenza. Generalmente l'intervallo di tempo tra accensione e spegnimento di una meteora è di pochi secondi, ma può succedere, come nel caso eccezionale di questo bolide che nel 1972, in pieno giorno, attraversò i cieli di Stati Uniti e Canada, che esso possa arrivare ad avere una durata di un paio di minuti.

Dai dati osservativi riportati in letteratura, relativi al bolide in questione, si riesce a definire la geometria della scia luminosa lasciata dal corpo e ad ottenere, seppur con qualche necessaria approssimazione (per esempio, l'istante iniziale del fenomeno stimato intorno alle ore 15:00 locali), le informazioni necessarie per il calcolo della traiettoria, che sono state riassunte nella Figura 1 a), b). Una semplificazione accettabile ai fini di questo studio è quella di supporre la superficie terrestre sferica, con un raggio, alle latitudini delle località interessate al fenomeno, pari a RT = 6368 km.

Dati analitici del bolide

Il teorema di Lambert, usato moltissimo in astronautica, può essere applicato proficuamente nella determinazione della traiettoria di un corpo sottoposto all'azione gravitazionale della Terra. Esso ha validità universale, nel senso che risolve qualsiasi orbita conica (sia essa un'ellisse, una parabola o una iperbole), sia in presenza di grandezze scalari delle distanze r1 e r2, come si vede nella Figura 1 b), che di grandezze vettoriali, cioè dei vettori r1 e r2, noti i quali si calcolano i parametri di orientamento dell'orbita nello spazio.

L'algoritmo di calcolo scelto per utilizzare il teorema di Lambert è quello di Richard Battin (vedi bibliografia), il cui procedimento iterativo è stato suddiviso in vari "step" in modo da poter essere convertito facilmente in un programma da usare al computer. Si tratta di un algoritmo di impareggiabile "robustezza" matematica, che riesce a convergere anche nel caso limite (che non interessa certo le meteore) in cui l'angolo sotteso dai due vettori r1 e r2 è pari a 180°.

Figura 1: il bolide che sfiorò il Nord America
Orbita geocentrica

Quando il bolide entra nel campo gravitazionale terrestre il suo moto è imperturbato e segue le leggi della meccanica newtoniana. Queste sono valide fino a quando gli strati atmosferici, che ne provocano l'accensione, sono abbastanza rarefatti da non frenare il corpo. Si può dire che a quote superiori ai 70 km il moto è ancora imperturbato, anche se per i bolidi molto grossi ciò non è più valido. Ritorniamo ora alla Figura 1, d).

Siccome la Terra ruota su sé stessa, i punti P1 e P2 si trovano agli istanti t1 e t2 in due posizioni dello spazio definite da questi due versori geocentrici. I raggi vettori hanno modulo pari a r1=(RT+Q1) e r2=(RT+Q2), essendo Q1 e Q2 le quote del corpo nel punto iniziale e finale della scia luminosa. Le componenti dei due vettori r1 e r2 si ottengono moltiplicando queste grandezze per i suddetti versori. A questo punto, poiché dai dati del problema conosciamo l'"angolo di trasferimento" (13.4°), ossia l'angolo compreso tra i due raggi vettori, e la durata del fenomeno luminoso (dt = 101 secondi), possiamo applicare l'algoritmo di Battin ed ottenere il seguente risultato.

Analisi dei risultati

Quanto ottenuto si può così riassumere:
  1. l'orbita del bolide è iperbolica: l'eccentricità è maggiore dell'unità, non potendo essere altrimenti dato che la costante energetica E = - /a (con a < 0) è sempre positiva, per qualsiasi moto planetocentrico;
  2. la sua distanza pericentrica, pari a 6424 km, è maggiore del raggio terrestre, per cui il corpo non ha impattato, fortunatamente, con il nostro pianeta, passando ad una quota di 56 km (= q-RT), che è in perfetta concordanza con i dati riportati in letteratura;
  3. il passaggio al perigeo, vedi Figura 1, c), è avvenuto dopo 40 secondi dall'accensione del bolide e 61 secondi prima del suo spegnimento, come si calcola agevolmente con la nota formula del moto iperbolico (qui omessa). Le posizioni P1 e P2 della traiettoria sono pressappoco simmetriche;
  4. la velocità V1 coincide con i 15.0 km/s riportati in letteratura, mentre la V2 si discosta, seppur lievemente, dal valore indicato, pari a 14.2 km/s. Si ha ragione di credere, in base alla dinamica del moto (la Vmax al perigeo è pari a 15.955 km/s) e alla quasi simmetria dei due punti iniziali e finali della scia luminosa, che il valore della velocità V2 = 14.925 km/s qui calcolato sia quello corretto.
Conclusioni

È auspicabile che la descrizione del procedimento iterativo utilizzato per calcolare gli elementi dinamici dell'orbita del bolide, un procedimento risultato quanto mai rapido e preciso, possa indurre i lettori appassionati di "stelle filanti" ad usare con disinvoltura questi algoritmi che si richiamano alla meccanica celeste, senza dover sempre ricorrere ai tradizionali, e spesso prolissi, metodi trigonometrici.

[N.d.A.: per il lettore interessato a un ulteriore approfondimento dell'argomento, l'Autore potrà fornire ogni tipo di documentazione a supporto del procedimento su esposto. Il suo indirizzo di posta elettronica è: joematara@hotmail.com]

Ringraziamenti

Un doveroso e sentito grazie lo devo a uno dei maggiori esperti italiani di fotografia di meteore, l'astrofilo Mirco Villa di Voltana (RA), per avermi fornito il materiale fotografico.



Bibliografia

Battin R.H., Vaughan R.M.: An Elegant Lambert Algorithm, Journal of Guidance and Control, Vol.7, 1984





© Cassiope@