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La geometria dell'universo

Come risulta dalla Relatività Generale di Einstein, lo spazio s'incurva in presenza di una massa. La curvatura è tanto maggiore quanto più grande è la massa del corpo che provoca l'incurvamento rispetto al suo volume, cioè quanto maggiore è la densità.

Che forma ha, dunque, l'universo in cui viviamo?

La curvatura dell'universo dipende dalla sua velocità di espansione media e dalla densità media della materia in esso contenuta.
Se la densità media della materia (distribuita omogeneamente in tutto l'universo, secondo il principio cosmologico) è più grande di un certo valore critico, determinato dalla velocità di espansione, lo spazio s'incurva a un punto tale da chiudersi su se stesso. Le traiettorie percorse dai corpi (dalle particelle alle galassie) e persino il cammino dei raggi di luce s'incurvano e si parla in questo caso di universo chiuso, con un'estensione finita.
Se la densità è minore del valore critico l'universo è incurvato al contrario, verso l'esterno, e si dice aperto. In questo caso, lo spazio è infinito.
Infine, se la densità coincide con il valore critico, si ha il caso limite di un universo piatto (anche in questo caso infinito).
Per comprendere meglio la geometria spaziale in tre dimensioni dell'universo, in questi tre casi distinti, facciamo riferimento a uno spazio a due dimensioni (la cui geometria è analoga a quella dello spazio tridimensionale in cui noi viviamo).
Cominciamo dal caso limite di un universo piatto. In uno spazio a due dimensioni questo tipo di universo si rappresenta con un piano infinito, per il quale vale la geometria euclidea. Su questo piano, la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 180 gradi. Tale risultato vale sempre, dovunque sia il triangolo e quali che siano la forma e le dimensioni. Inoltre, su questo piano, due rette parallele mantengono sempre la stessa distanza tra loro. Un universo chiuso, nel caso bidimensionale, corrisponde alla superficie di una sfera. Su una sfera, la somma degli angoli interni di un triangolo supera i 180 gradi. Inoltre, due rette parallele convergono. Tali effetti risultano comunque impercettibili su distanze molto piccole, per le quali sono ancora validi i risultati ottenuti nel caso della geometria piana (di conseguenza, anche in questo caso, per un triangolo di piccole dimensioni la somma degli angoli interni può essere uguale a 180 gradi).
Infine, l'universo aperto ha come analogo bidimensionale la superficie (iperbolica) di una sella: infinita e incurvata verso l'esterno.
In questo caso, la somma degli angoli interni di un triangolo è inferiore a 180 gradi, e due rette parallele divergono.
Per regioni molto piccole sulla superficie della sella valgono ancora una volta i risultati della geometria piana, come nel caso della superficie sferica di un universo chiuso.
Naturalmente, in tutti e tre i casi, che sono solo delle analogie per capire ciò che può avvenire nel nostro universo mediante l'osservazione di ciò che avviene in uno spazio ridotto di una dimensione, le galassie (come qualsiasi altro corpo) devono essere immaginate piatte, prive di spessore.

Misurando la curvatura dell'universo, noi possiamo determinare la quantità di massa ed energia presente in esso, e da questo risalire al suo destino finale. Ma in che modo?
In uno spazio curvo, la luce proveniente da un oggetto distante giunge sino a noi seguendo la curvatura dello spazio, di conseguenza le dimensioni angolari dell'oggetto risulteranno modificate. (Come si può osservare dai due grafici , la linea spessa tracciata nello spazio piatto ha le stesse dimensioni di quella disegnata nello spazio curvo, ma sottende un angolo più piccolo).
Di conseguenza, l'analisi delle dimensioni angolari delle strutture (cioè delle regioni più calde e di quelle più fredde) presenti nella radiazione cosmica di fondo alle microonde (CMBR) ha fornito ai cosmologi le informazioni (al momento!) più accurate sulla geometria dell'universo, dimostrando che la geometria del nostro universo è piatta, e non curva.